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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 18

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

18. int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) (4 s e c^2 t + (pi)/(t^2)) d t

Passo 1

Então pessoal, de ínicio vamos simplificar essa integral da seguinte forma:

int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) (4 s e c^2 t + (pi)/(t^2)) d t = 4 int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) s e c ² t d t + pi int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) t^(- 2) d t

Para a primeira integral, devemos pensar em uma função que quando derivada, resulta em s e c ² t . Para a segunda integral, devemos utilizar a seguinte propriedade de integral indefinida:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1)

Então bora lá!

Passo 2

A função que quando derivada, resulta em s e c ² t , é t g t , certo? Sendo assim, teremos:

4 int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) s e c ² t d t + pi int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) t^(- 2) d t = 4 . [t g t] ((- pi)/(4))/((- pi)/(3)) + pi . [- (1)/(t)] ((- pi)/(4))/((- pi)/(3))

4 int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) s e c ² t d t + pi int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) t^(- 2) d t = 4 ((- 1) - (- sqrt(3))) - pi (- (4)/(pi) - (- (3)/(pi)))

:. int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) (4 s e c^2 t + (pi)/(t^2)) d t = 4 sqrt(3) - 3

Resposta

int_(- (pi)/(3))^(- (pi)/(4)) (4 s e c^2 t + (pi)/(t^2)) d t = 4 sqrt(3) - 3

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