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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 62

Determine a área da região sombreada.

Passo 1

Para determinar a área da região sombreada de y = f ( x ) precisamos primeiramente definir o intervalo da função f . Pela imagem é fácil perceber que ela é delimitada por x = (pi)/(6) e x = (5 pi)/(6) .

Logo, temos o seguinte intervalo [(pi)/(6) , (5 pi)/(6)] .

Passo 2

Agora devemos integrar f e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

int_((pi)/(6))^((5 pi)/(6)) (s e n x) d x = [- cos x] ((5 pi)/(6))/((pi)/(6)) = [- cos (5 pi)/(6)] - [- cos (pi)/(6)] = (sqrt(3))/(2) + (sqrt(3))/(2) = sqrt(3)

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos da integral calculada. Logo:

A = sqrt(3)

Resposta

sqrt(3)

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Determineunderset(x - oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) int_1^x (d t)/(sqrt(t))