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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 41

Ache o centróide da região limitada pela curva y x 2 = x 2 - 9 pelo eixo x e pela reta x = 5 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pela curva y = f ( x ) , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f x ≥   0     ∀ x ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x               e                   M y = ∫ a b x f ( x ) d x  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x ,   M y e A para os dados do nosso problema. Deixando y em evidência, nós temos:

y = x 2 - 9 x 2

Vamos ver onde essa função corta o eixo x para descobrir o intervalo da região.

x 2 - 9 x 2 = 0 →     x = ± 3

Como uma extremidade é x = 5 (enunciado), então a outra extremidade vai ser x = 3 . Logo, o intervalo vai ser [ 3 ,   5 ] . Podemos começar a resolver.

Passo 2

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ 3 ,   5 ] . Sendo assim, a área será dada pela seguinte integral definida:

A = ∫ 3 5 x 2 - 9 x 2 d x

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x 2 - 9 = x 2 - 3 2 , isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 sec ⁡ θ .

Façamos então a substituição:

x = 3 sec ⁡ θ d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 9 sec 2 ⁡ θ     →     x 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 3 2 tan 2 ⁡ θ .

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 3 → 3 = 3 sec ⁡ θ →           1 = sec ⁡ θ     →         θ = 0 x = 5 → 5 = 3 sec ⁡ θ →         θ = sec - 1 ⁡ 5 3

Substituindo na integral:

A = ∫ 3 5 x 2 - 9 x 2 d x = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 3 2 tan 2 ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= 9 9 ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) ⏞ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 sec ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 sec ⁡ θ - cos ⁡ θ d θ

Prontinho!

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C , ficamos com:

A = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 sec ⁡ θ - cos ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sec - 1 ⁡ 5 3

= ln ⁡ sec ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 + tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - sen ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 - sen ⁡ 0

O resultado já é esse, mas vamos simplificar.

Para achar tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 vamos usar a relação:

tan 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x + 1 = sec 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x = 5 3 2

tan 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 25 9 - 1 = 16 9

tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 4 3     pois       0 ≤ sec - 1 ⁡ 5 3 < π 2

Agora, para achar sen ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = sen ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 , vamos usar a relação:

sen 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x + cos 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x = 1

sen 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 + 1 sec 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 1

sen 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 + 1 5 3 2 = 1

sen 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 + 9 25 = 1

sen 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 1 - 9 25 = 16 25

sen ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 4 5         pois       0 ≤ sec - 1 ⁡ 5 3 < π 2

Agora podemos simplificar o resultado achado.

A = ln ⁡ 5 3 + tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - sen ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 - sen ⁡ 0

= ln ⁡ 5 3 + 4 3 - 4 5 - ln ⁡ 1 + 0 - 0

A = ln ⁡ 3 - 4 5   u . a

Essa é a área procurada.

Passo 3

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo y .

M y = ∫ a b x f ( x ) d x = M y = ∫ 3 5 x x 2 - 9 x 2 d x = ∫ 3 5 x 2 - 9 x d x

Vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x 2 - 9 = x 2 - 3 2 , isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver no quadro de substituições no passo 2 com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 sec ⁡ θ .

Façamos então a substituição:

x = 3 sec ⁡ θ d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 9 sec 2 ⁡ θ     →     x 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 3 2 tan 2 ⁡ θ .

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 3 → 3 = 3 sec ⁡ θ →           1 = sec ⁡ θ     →         θ = 0 x = 5 → 5 = 3 sec ⁡ θ →         θ = sec - 1 ⁡ 5 3

Substituindo tudo na integral, ficamos com:

M y = ∫ 3 5 x 2 - 9 x d x = ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 3 2 tan 2 ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 3 ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 tan 2 ⁡ θ d θ

M y = 3 ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Prontinho!

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ + C , ficamos com:

M y = 3 ∫ 0 sec - 1 ⁡ 5 3 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ = 3 tan ⁡ θ - θ 0 sec - 1 ⁡ 5 3

M y = 3 tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - sec - 1 ⁡ 5 3 - tan ⁡ 0 - 0

Para achar tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 vamos usar a relação:

tan 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x + 1 = sec 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 ⏟ x = 5 3 2

tan 2 ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 25 9 - 1 = 16 9

tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 = 4 3     pois       0 ≤ sec - 1 ⁡ 5 3 < π 2

Agora podemos simplificar o resultado achado.

M y = 3 tan ⁡ sec - 1 ⁡ 5 3 - sec - 1 ⁡ 5 3 - tan ⁡ 0 - 0 = 3 4 3 - sec - 1 ⁡ 5 3 = 4 - 3 sec - 1 ⁡ 5 3  

Logo, M y = 4 - 3 sec - 1 ⁡ 5 3   .

Passo 4

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x = M x = 1 2 ∫ 3 5 x 2 - 9 x 2 2 d x = 1 2 ∫ 3 5 x 2 - 9 x 4 d x

= 1 2 ∫ 3 5 x - 2 - 9 x - 4 d x = 1 2 x - 1 - 1 - 9 x - 3 - 3 3 5 = 1 2 ( 5 ) - 1 - 1 - 9 ( 5 ) - 3 - 3 - ( 3 ) - 1 - 1 - 9 ( 3 ) - 3 - 3

M x = 1 2 - 1 5 + 3 125 - - 1 3 + 1 9 = 1 2 - 25 125 + 3 125 - - 3 9 + 1 9

= 1 2 - 22 125 - - 2 9 = 1 2 - 22 125 + 2 9 = - 11 125 + 1 9 = - 99 + 125 1125 = 26 1125

M x = 26 1125

Passo 5

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = M y A , M x A = 4 - 3 sec - 1 ⁡ 5 3 ln ⁡ 3 - 4 5 , 26 1125 ln ⁡ 3 - 4 5 = 20 - 15 sec - 1 ⁡ 5 3 5 ln ⁡ 3 - 4 , 26 1125 ln ⁡ 3 - 900

C = 20 - 15 sec - 1 ⁡ 5 3 5 ln ⁡ 3 - 4 , 26 225 ( 5 ln ⁡ 3 - 4 )

Prontinho, achamos o centróide.

Resposta

C = 20 - 15 sec - 1 ⁡ 5 3 5 ln ⁡ 3 - 4 , 26 225 ( 5 ln ⁡ 3 - 4 )

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