Para qual valor de c a curva y = c / (x + 1) é tangente à reta que passa pelos pontos (0, 3) e (5, -2) ?

Passo 1

Precisamos achar a equação da reta tangente através dos pontos dados e compará-la com a equação da reta tangente obtida através da derivada da curva.

Passo 2

Substituindo os pontos na equação da reta obtemos um sistema de equações:

3 = a . 0 + b - 2 = 5 a + b

Resolvendo o sistema obtemos a = - 1 e b = 3 e a equação da reta tangente é y = - x + 3

Porém temos que:

y = c x + 1

y ' = - c x + 1 2

Podemos comparar a derivada obtida com o coeficiente angular da reta para achar para qual valor de x eles são correspondetes, em função de c .

- 1 = - c ( x + 1 ) ²

x + 1 2 = c , x ≠ - 1

Passo 3

Temos também que a curva y = c x + 1 intercepta a reta y = - x + 3 , então:

- x + 3 = c x + 1 ,   x ≠ - 1

- x 2 + 2 x + 3 = c

No passo anterior achamos que c = ( x + 1 ) ² , então podemos substituir na equação de cima:

x + 1 2 = - x 2 + 2 x + 3

x 2 + 2 x + 1 = - x 2 + 2 x + 3

2 x 2 = 2

x = ± 1

Como x ≠ - 1 , x = 1 , Podemos agora substituir esse valor achado, que é referente ao ponto onde a reta tangencia a curva na equação que nos dá o coeficiente angular:

- 1 = - c ( x + 1 ) ²

1 = c 1 + 1 2

Resposta

c = 4

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