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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = 4 .

Passo 1

Desenhando nossa região temos:

Passo 2

Pela simetria podemos de cara dizer que x - se encontra em 0.

x - = 0

Passo 3

Agora para encontrar-mos y - precisamos considerar um linha dessa função que sai da reta y = 4 e encontra a função x 2 . O comprimento dessa linha será:

L = 4 - x 2

A sua largura será: d x . Logo sua área será:

d A = 4 - x 2 d x

Como sua densidade de área é constante igual a δ basta multiplicar-mos pela área para encontramos a massa.

m = δ 4 - x 2 d x

Agora precisamos estimar um ponto de centro de distância para essa linha, que será a média aritmética das duas funções .

y m = x 2 + 4 2

Então agora podemos achar y - :

y - = M x M

M = ∫ d m  

M x = ∫ y m   d m

E o intervalo de x varia de -2 a 2.

Passo 4

Calculando:

M = ∫ - 2 2 δ 4 - x 2 d x

M = δ 4 x - x 3 3 - 2 2 = 2 δ 8 - 2 3 3 = 32 δ 3

Agora calculando o momento em y :

M y = δ ∫ - 2 2 ( 4 - x 2 ) ( x 2 + 4 2 d x

M y = δ 2 × 2   ∫ 0 2 16 - x 4 d x = δ 16 x - x 5 5 0 2 = δ 32 - 32 5

M y = 128 δ 5

Finalmente calculando y - :

y - = 128 δ 5 32 δ 3 = 384 160 = 12 5

Resposta

Logo nosso centro de massa é:

x - , y - = 0 , 12 5  

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3. A coordenada y do centro de massa de quadro partículas é 5. As partículas têm massas 2, 5, 4 e m kg e estão localizadas nos pontos (3,2), (-1,0), (0,20) e (2,-2), respectivamente. Ache m.
26. Dê um exemplo para mostrar que o centroide de uma região plana não é necessariamente um ponto dentro da região.
Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.30 – g x = x 2 ( x + 1 ) e
Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.29 – g x = x 2 e f x = x +
Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.31 – g x = x 2 ( x - 1 ) e