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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 9

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região entre a curva y = 1 x e o eixo x de x = 1 a x = 2 . Dê as coordenadas com duas casas decimais.

Passo 1

Como o valor de x = 1 y tem o valor de 1 e com x = 2 y tem o valor de 0.5 .

Plotando essa região temos:

Passo 2

O comprimento da linha vertical será de:

L = 1 x - 0 = 1 x

Sua largura será de d x logo sua área será de:

d A = 1 x d x

Sua massa:

d m = δ 1 x d x

O x médio será de:

x m = x

E seu y médio:

y m = 1 x + 0 2 = 1 2 x

Passo 3

Precisamos calcular x - e y -   que são dadas pelas fórmulas abaixo.

x - = M y M = ∫ x m   d m ∫ d m

y - = M x M = ∫ y m   d m ∫ d m

Calculando M temos:

M = ∫ 1 2 δ 1 x d x = δ [ ln ⁡ x ] 1 2 = δ [ ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 ] = δ ln ⁡ 2

Calculando M y :

M y = δ ∫ 1 2 x 1 x d x = δ ∫ 1 2 1   d x = δ x 1 2 = δ

Agora calculando M x :

M x = δ ∫ 1 2 1 2 x 1 x d x = δ 2 ∫ 1 2 1 x 2 d x = δ 2 - 1 x 1 2  

Aplicando o intervalo:

M x = δ 2 - 1 2 + 1 = δ 2 × 1 2 = δ 4

Passo 4

Calculando x - :

x - = M y M = δ δ ln ⁡ 2   = 1 ln ⁡ 2 ≈ 1.44

Calculando y - :

y - = M x M = δ 4 δ ln ⁡ 2 = 1 4 ln ⁡ 2 ≈ 0.36

Resposta

Centro de massa com duas casas decimais:

x - , y - = ( 1.44 ,   0.36 )

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