Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante ô que abranja a região dada.

  1. A região limitada pela parábola y = (25 - x)^2 e pelo eixo x .

Passo 1

Sabendo como o gráfico se comporta podemos dizer seus principais parâmetros:

Podemos ver que x varia de -5 a 5, que x - por simetria é 0 e que y m = 25 - x 2 - 0 2

Passo 2

A linha que traçamos no gráfico tem comprimento L de:

L = 25 - x 2

Pois ela sai de y e acaba no eixo x,ou em 0, então ela tem o mesmo valor da função.

Sua largura é de d x ,logo sua área é de:

d A = 25 - x 2 d x

Sua densidade é dada como δ logo se multiplicarmos pela área teremos a massa.

d m = δ 25 - x 2 d x

O comprimento médio da linha vertical é dado por:

y m = 25 - x 2 2

Passo 3

Como queremos saber o valor de y - temos a equação a resolver:

y - = M x M

Calculando a massa temos:

M = ∫ - 5 5 δ 25 - x 2 d x = 2 δ ∫ 0 5 25 x - x 3 3 = 2 25 × 5 - 5 3 3 = 500 3

Agora calculando o momento em x :

M x = ∫ - 5 5 δ 25 - x 2 y m   d x = 2 δ ∫ 0 5 25 - x 2 2   d x = 2 δ ∫ 0 5 ( 625 - 50 x 2 + x 4 ) d x

M x = 2 δ 625 x - 50 x 3 3 + x 5 5 0 5

Calculando temos:

M x = 2 δ 3125 - 6250 3 + 625 = 5000 δ 3

Calculando agora y - :

y - = 5000 δ 3 500 δ 3 = 10

Resposta

Logo nosso centro de massa é:

x - , y - = ( 0,10 )

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