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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 33

Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.

Encontre a área da superfície gerada quando a curva paramétrica x = t 2 , y = 2 t ( 0 ≤ t ≤ 4 ) gira em torno do eixo x

Passo 1

De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de x , é:

S = ∫ a b 2 π y t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!

Passo 2

Pelo enunciado, vemos que:

a = 0

b = 4

Calculando as derivadas das funções:

x t = t 2

x ' t = 2 t

y t = 2 t

y ' t = 2

Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 0 4 2 t 4 t 2 + 4   d t

Passo 3

Agora é calcular. Vamos usar a substituição:

u = 4 t 2 + 4

d u d x = 8 t ∴ d u 8 t = d x

Calculando os novos extremos de integração:

u 1 = 4 ⋅ 0 + 4 = 4

u 2 = 4 ⋅ 4 2 + 4 = 68

Aí a nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 4 68 u 1 2 4 d u = 4 π 12 68 3 2 - 4 3 2 = 8 π 3 17 17 - 1

Resposta

S = 8 π 3 17 17 - 1

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(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y . 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 7 .y = x 3 ,0 ≤ x ≤ 2
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . y = 1 + 4 x ,1 ≤ x ≤ 5
(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y . 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . 9 x = y 2 + 18 ,2 ≤ x ≤ 6