Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.

Encontre a área da superfície gerada quando a curva paramétrica x = t^2 , y = 2t (0 ≤ t ≤ 4) gira em torno do eixo x

Passo 1

De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de x , é:

S = ∫ a b 2 π y t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!

Passo 2

Pelo enunciado, vemos que:

a = 0

b = 4

Calculando as derivadas das funções:

x t = t 2

x ' t = 2 t

y t = 2 t

y ' t = 2

Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 0 4 2 t 4 t 2 + 4   d t

Passo 3

Agora é calcular. Vamos usar a substituição:

u = 4 t 2 + 4

d u d x = 8 t ∴ d u 8 t = d x

Calculando os novos extremos de integração:

u 1 = 4 ⋅ 0 + 4 = 4

u 2 = 4 ⋅ 4 2 + 4 = 68

Aí a nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 4 68 u 1 2 4 d u = 4 π 12 68 3 2 - 4 3 2 = 8 π 3 17 17 - 1

Resposta

S = 8 π 3 17 17 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados