Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.
Fazendo girar o semicírculo
em torno do eixo , mostre que a área da superfície de uma esfera de raio é .
Passo 1
De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de é:
Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!
Passo 2
Pelo enunciado, vemos que:
Calculando as derivadas das funções:
Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:
Sabendo que:
Podemos colocar o em evidência e ficar com uma integral mais bonitinha:
Passo 3
Agora é calcular:
Resposta
Prova nos passos