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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 37

Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.

Fazendo girar o semicírculo

x = r cos ⁡ t ,     y = r   s e n   t         ( 0 ≤ t ≤ π )

em torno do eixo x , mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4 π r 2 .

Passo 1

De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de x , é:

S = ∫ a b 2 π y t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!

Passo 2

Pelo enunciado, vemos que:

a = 0

b = π

Calculando as derivadas das funções:

x t = r cos ⁡ t

x ' t = - r   s e n   t

y t = r   s e n   t

y ' t = r cos ⁡ t

Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 0 π r   s e n   t r 2 s e n 2 t + r 2 cos 2 ⁡ t   d t

Sabendo que:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Podemos colocar o r 2 em evidência e ficar com uma integral mais bonitinha:

S = 2 π ∫ 0 π r 2 s e n   t d t

Passo 3

Agora é calcular:

S = 2 π r 2 ∫ 0 π s e n   t d t = 2 π r 2 ( - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 ) = 4 π r 2

Resposta

Prova nos passos

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(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 11 .y = cos ⁡ 1 2 x ,0 ≤ x ≤ π
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 9 .y 2 = x + 1 ,0 ≤ x ≤ 3
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 8 .y = 5 - x ,3 ≤ x ≤ 5