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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 48

Determine a área da superfície.

O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial

r u , v = u cos ⁡ v   i + u sen ⁡ v j + v   k ,   0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Temos que a área pode ser calculada da seguinte forma:

A S = ∬ D r u × r v d A

Onde r u = ∂ x ∂ u i + ∂ y ∂ u j + ∂ z ∂ u k e r v = ∂ x ∂ v i + ∂ y ∂ v j + ∂ z ∂ v k , vamos então achar os dois:

∂ x ∂ u = ∂ u cos ⁡ v ∂ u = cos ⁡ v ,                   ∂ y ∂ u = ∂ u sen ⁡ v ∂ u = sen ⁡ v ,                   ∂ z ∂ u = ∂ v ∂ u = 0

∂ x ∂ v = ∂ u cos ⁡ v ∂ v = - u sen ⁡ v ,                 ∂ y ∂ v = ∂ u sen ⁡ v ∂ v = u cos ⁡ v ,                   ∂ z ∂ v = ∂ v ∂ v = 1

Que nos dá:

r u = cos ⁡ v , sen ⁡ v , 0

r v = - u sen ⁡ v , u cos ⁡ v , 1

Passo 2

Vamos agora calcular r u × r v :

r u × r v = i j k ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v 0 - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 1 = sen ⁡ v , - cos ⁡ v , u

r u × r v = sen ⁡ v 2 + - cos ⁡ v 2 + u 2 = sen 2 ⁡ v + cos 2 ⁡ v + u 2 = 1 + u 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na integral:

A S = ∬ D r u × r v d A = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 d u d v = ∫ 0 π d v ∫ 0 1 1 + u 2 d u = v 0 π u 2 u 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ u + u 2 + 1 0 1 = π 1 2 1 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 2 + 1 - 0 2 0 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ 0 + 0 2 + 1 = π 1 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2 - 0 + 1 2 ln ⁡ 1 = π 1 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2 - 0 + 0 = π 2 2 + π 2 ln ⁡ 1 + 2

Resposta

A S = π 2 2 + π 2 ln ⁡ 1 + 2

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