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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 12

Determine a área da superfície do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta y = x 2 + 1 2   ,   1 ≤ x ≤ 3 , em torono do eixo y . Verifique se seu resultado coincide com a fórmula geométrica:

Á r e a   d e   s u p e r f í c i e   d o   t r o n c o = π r 1 + r 2 × a l t u r a   i n c l i n a d a

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que: x=2y-1. Como x varia de 1 até 3, y vai variar de y = 1 2 + 1 2 = 1 até y = 3 2 + 1 2 = 2

S = ∫ 1 2 2 π   2 y - 1 1 + 2 2 d y = 2 π 5 ∫ 1 2 ( 2 y - 1 )   d y = 2 π 5 y 2 - y 1 2 =  

= 2 π 5 2 2 - 2 - ( 1 2 - 1 ) ) = 2 π √ 5   ( 4 - 2 ) = 4 π √ 5  

Verificando com a fórmula geométrica, temos:

Á r e a   d e   s u p e r f í c i e   d o   t r o n c o = π r 1 + r 2 × a l t u r a   i n c l i n a d a = 4 π 5

Onde r 1 = 1 e r 2 = 3 . E a altura é 2 - 1 2 + 3 - 1 2 = 5 .

Resposta

4 π 5

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