Derivando a função
x
:
g y = t g ( y )
g ' y = sec 2 ( y )
Aplicando na fórmula, temos :
S = 2 π ∫ a b f y 1 + f ' y 2 d x
No intervalo:
S = 2 π ∫ 0 π 4 t g ( y ) 1 + ( sec 2 ( y ) ) 2 d y
Vamos integrar utilizando substituições :
Onde
y = a r c cos t
e
d y = - 1 1 - t 2 d t
∫ t g ( y ) 1 + ( sec 2 ( y ) ) 2 d y = ∫ s e n y cos y 1 + 1 cos 4 y d y
Substituindo, temos:
= - ∫ 1 - t 2 t 1 + 1 t 4 . 1 1 - t 2 d t = - ∫ t 4 + 1 t 3 d t
Substituindo por partes, temos
u = t 4 + 1
e
d u = 2 t 3 t 4 + 1 d t
e também
d v = 1 t 3
e
v = - 1 2 t 2 .
- ∫ t 4 + 1 t 3 d t = - t 4 + 1 t 3 - ∫ - t t 4 + 1 d t
- ∫ t 4 + 1 t 3 d t = t 4 + 1 2 t 2 + 1 2 ln t 4 + 1 + t 2
Retornando a substituição:
c o s 4 ( y ) + 1 2 c o s 2 ( y ) + 1 2 ln c o s 4 ( y ) + 1 + c o s ( y ) 2
Retornando ao foco:
= 2 π ∫ 0 π 4 t g y 1 + sec 2 y 2 = 2 π c o s 4 ( y ) + 1 2 c o s 2 ( y ) + 1 2 ln c o s 4 ( y ) + 1 + c o s ( y ) 2 0 π 4
S ≈ 3,83908