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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 14

Use um CAS, ou uma calculadora com integração numérica, para aproximar a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

x = t g ( y ) ,       0 ≤ y ≤ π 4 ,   e i x o   y

Passo 1

Derivando a função x :

g y = t g ( y )

g ' y = sec 2 ⁡ ( y )

Aplicando na fórmula, temos :

S = 2 π ∫ a b f y 1 + f ' y 2 d x

No intervalo:

S = 2 π ∫ 0 π 4 t g ( y ) 1 + ( sec 2 ⁡ ( y ) ) 2 d y

Vamos integrar utilizando substituições :

Onde y = a r c cos ⁡ t e d y = - 1 1 - t 2 d t

∫ t g ( y ) 1 + ( sec 2 ⁡ ( y ) ) 2 d y = ∫ s e n y cos ⁡ y 1 + 1 cos 4 ⁡ y d y

Substituindo, temos:

= - ∫ 1 - t 2 t 1 + 1 t 4 . 1 1 - t 2 d t = - ∫ t 4 + 1 t 3 d t

Substituindo por partes, temos u = t 4 + 1 e d u = 2 t 3 t 4 + 1 d t e também d v = 1 t 3 e v = - 1 2 t 2 .

- ∫ t 4 + 1 t 3 d t = - t 4 + 1 t 3 - ∫ - t t 4 + 1 d t  

- ∫ t 4 + 1 t 3 d t = t 4 + 1 2 t 2 + 1 2 ln ⁡ t 4 + 1 + t 2

Retornando a substituição:

c o s 4 ( y ) + 1 2 c o s 2 ( y ) + 1 2 ln ⁡ c o s 4 ( y ) + 1 + c o s ⁡ ( y ) 2

Retornando ao foco:

= 2 π ∫ 0 π 4 t g y 1 + sec 2 ⁡ y 2 = 2 π c o s 4 ( y ) + 1 2 c o s 2 ( y ) + 1 2 ln ⁡ c o s 4 ( y ) + 1 + c o s ⁡ ( y ) 2 0 π 4

S ≈ 3,83908

Resposta

S ≈ 3,83908

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