Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.6 - Ex. 38

Determine a área da superfície.

A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = 10 - 2 x - 5 y

A região a ser considerada é dentro do cilindro. No plano x y e em coordenadas polares e cartesianas temos:

r = 3

x = 3 c o s θ ,   y = 3 s e n θ

Então os limites são:

0 ≤ r ≤ 3

E para θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então o diferencial de área vai ser r d r d θ e o intervalo:

0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = 10 - 2 x - 5 y . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = - 5

Assim temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   = 1 + - 2 2 + - 5 2   = 30

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 30 r d r d θ

A = 30 ∫ 0 2 π r 2 2 ​ 0 3   d θ = 30 .   9 2 ∫ 0 2 π d θ

A = 30 .   9 2 . 2 π = 9 π 30

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

9 π 30

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ z 2 d S S é a parte do paraboloide x = y 2 + z 2 dado por 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x d S S é a região triangular com vértices 1,0 , 0 , 0 , - 2,0e0,0 , 4 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x y z d S S é o cone com as equações paramétricas x = u cos ⁡ v ,y = u sen ⁡ v ,z = u ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ π 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S S é o helicoide com o vetor paramétrico r u , v = u cos ⁡ v ,u sen ⁡ v ,v ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ π .
Calcule a integral de superfície. ∬ x + y + z d S S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,y = u - v ,z = 1 + 2 u + v ,0 ≤ u ≤ 2 ,0 ≤ v ≤ 1 .