Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 13
Calcule a integral de superfície.
é a parte do paraboloide dado por .
Passo 1
E aiii galera, beleza!?
Nosso objetivo é calcular a integral de superfície:
Onde é parte do paraboloide:
Primeiro vamos lembrar como podemos escrever um integral de superfície. Dessa forma:
Sabemos que:
Precisamos achar as derivadas parciais de em relação a e , e substituir na integral. Repare que essa expressão tem a cara de uma circunferência:
Uma circunferência no plano e raio . Como x varia de , temos que o raio é:
Em coordenadas polares, a parametrização fica:
Com essas informações, você já consegue montar a integral e resolvê-la!
Vamos nessa!
Passo 2
Para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que:
Temos a integral de superfície:
Precisamos achar as derivadas parciais de .
Assim,
Substituindo na integral, vamos ter:
Passando para coordenadas polares, temos:
Apenas substituímos:
E os limites de integração:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral:
Lembre-se que quando integramos em uma variável, tudo que não depende dela consideramos uma constante. Assim, podemos fazer o seguinte:
Repare, que podemos separar em duas multiplicações de integrais. Isso só é possível porque os termos são independentes, ou seja, a função de depende somente dela e a função de também somente dela.
Podemos usar a seguinte propriedade trigonométrica na primeira integral:
Agora, na segunda integral, vamos resolver por substituição de variável. Seja:
Também vamos mudar os limites de integração da variável para facilitar. Basta aplicarmos e na expressão:
Ficando assim:
Assim, ficamos com:
Passo 4
Agora vamos integrar. Mas antes organizado um pouco a integral, ficamos com:
Integrando em e integrando em vamos ter:
Aplicando os limites de integração da variável , temos:
Agora, aplicando os limites de integração de , vamos ter:
Dessa forma, nossa resposta é: