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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 7

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S

S é o helicoide com o vetor paramétrico r u , v = u cos ⁡ v ,   u sen ⁡ v ,   v ,   0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∬ y   d S  

S é o helicoide com equação vetorial

r u , v = < u c o s v , u s e n v , v >

Com:

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π

Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A

Então, não vamos precisar achar uma parametrização para x , y e z pois o enunciado já nos deu. Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = y

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → u e r → v e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Passo 2

Vamos achar nossos vetores r → u e r → v . Do enunciado nós temos

r u , v = < u c o s v , u s e n v , v >

Então nossos parâmetros são:

x = u c o s v

y = u s e n v

z = v

  • r → v : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ u c o s v ∂ v i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ v j ⃑ + ∂ v ∂ v k ⃑

    Derivando cada uma dessas funções em relação a v , tratando u como constante:

    r v = - u   s e n v i ⃑ + u   c o s v j ⃑ + k ⃑

  • r → u : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r u = ∂ u   c o s v ∂ u i ⃑ + ∂ u   s e n v ∂ u j ⃑ + ∂ v ∂ u k ⃑

    Derivando cada uma dessas funções em relaç��o a u , tratando v como constante:

    r u = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑

    Passo 3

    r u × r v = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑ × - u   s e n v i ⃑ + u   c o s v j ⃑ + k   ⃑

    Vamos calcular o produto vetorial:

    r → u × r → v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n v 1 - u   s e n v u   c o s v 0

    Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

    r u × r v = s e n ( v ) i ⃑ - c o s v k ⃑ + u k ⃑

    Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

    r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

    Substituindo:

    r u × r v = cos 2 ⁡ v + s e n 2 v + u 2 = u 2 + 1

    Passo 4

    Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

    ∬ y d S

    Vamos reescrever nossa função parametrizada:

    f x , y , z = y

    substituindo as equações paramétricas:

    f r u , v = u s e n v

    Ficamos com:

    ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A = ∬ u s e n v r u × r v d S

    Agora substituímos o módulo do nosso produto vetorial r u × r v :

    ∬ u s e n v u 2 + 1 d u d v

    As variáveis de integração de cada variável foram dadas no enunciado:

    0 ≤ u ≤ 1

    0 ≤ v ≤ π

    Então ficamos com:

    ∫ 0 π ∫ 0 1 u s e n v u 2 + 1   d u d v  

    Passo 5

    Agora basta resolver nossa integral:

    ∫ 0 π ∫ 0 1 u s e n v u 2 + 1   d u d v  

    Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las

    = ∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n ( v   )   d v  

    Resolvendo a primeira integral: vamos usar uma substituição: chamando

    w = u 2 + 1

    Derivando, ficamos com:

    d w 2 = u d u

    Nossos limites mudam para w :

  • u = 1

    • w = 1 2 + 1 = 2

  • u = 0

w = 0 + 1 = 1

Substituindo na nossa integral:

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 w d w 2

Integrando em relação a w :

∫ 1 2 w d w 2 = 2 3 w 3 2 1 2

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u = 2 3 2 3 2 - 1

A integral fica:

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n v   d v

Substituindo o valor da primeira integral que acabamos de achar e resolver a segunda:

2 3 2 3 2 - 1   ∫ 0 π s e n v   d v

Ficamos com:

= 2 3 2 3 2 - 1 ⋅ - cos ⁡ v 0 π

Aplicando os limites, ficamos com:

∬ y   d S = 2 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

∬ y d S = 2 3 ( 2 2 - 1 )

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