Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica. x = 2 cos 3 t y = 2 s e n 3 t e x = 2 cos t y = 2 s e n t Passo 1 A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' t d t x ' = - 2 s e n t x ' = 6 cos 2 t ⋅ ( - s e n t ) A = 4 ∫ 0 π 2 2 s e n t ⋅ - 2 s e n t d t - ∫ 0 π 2 2 s e n 3 t ⋅ 6 cos 2 t ⋅ ( - s e n t ) d t A = 4 - 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 t d t + 12 ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t Integrando o primeiro termo: ∫ s e n 2 t d t = 1 2 t - 1 2 s e n 2 t A = 4 - 4 ⋅ 1 2 t - 1 2 s e n 2 t 0 π / 2 + 12 ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t Aplicando os limites no primeiro termo, temos: A = - 4 π + 48 ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t Integrando o segundo termo: ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t = ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ 1 - s e n 2 t d t = ∫ 0 π 2 s e n 6 t ⋅ s e n 4 t d t ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t = 48 - 1 6 s e n 5 t ⋅ cos t + 5 6 ∫ s e n 4 t d t - ∫ s e n 4 t d t ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t = 48 - 1 6 s e n 5 t ⋅ cos t - 1 6 ∫ s e n 4 t d t ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t = 8 - s e n 5 t ⋅ cos t - - 1 4 s e n 3 t ⋅ cos t + 3 8 t - 3 16 s e n 2 t Aplicando os limites no segundo termo, temos: ∫ 0 π 2 s e n 4 t ⋅ cos 2 t d t = 8 - s e n 5 t ⋅ cos t - - 1 4 s e n 3 t ⋅ cos t + 3 8 t - 3 16 s e n 2 t 0 π 2 = 8 0 - 0 + 3 8 π 2 - 0 - 0 - 0 + 0 - 0 = 3 π 2 Voltando par a a área A = - 4 π + 48 ⋅ 3 π 2 = 68 π Resposta 68 π MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUse o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da Suponha que f e g sejam contínuas em [a, b] e que os gráficos de y = f(x) e y = g(x) se cruzem várias vezes. Descreva um procedimento passo a passo para determinar a área delimitada pelos gráficos de Suponha que R e S sejam duas regiões no plano x y situadas entre duas retas L₁ e L₂ paralelas ao eixo y . Suponha que cada reta paralela ao eixo y entre L₁ e L₂ intersecte R e S em segmentos de reta dVer TambémVer Livro Diva Flemming - Cálculo AVer tudo sobre Aplicação de IntegraisLista de exercícios de Área entre Curvas Ver exercício 8.4 - 40Ver exercício 6.11 - 36a