Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 70
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 63-72.
70.
Passo 1
Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:
No qual a função em verde é e a função em azul é . Uma vez plotados, o que precisamos descobrir é a área dessas rachuras aí, certo? Para descobrirmos isso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram, e é aqui que surge um trabalho mais sério, se liga!
Passo 2
Temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para sabermos quais serão os limites de integração da nossa integral, galera! Para descobrirmos, basta igualarmos as duas funções, olha só:
Mas e aí, como descobrimos as raízes dessa função aí? Então, só existem duas possibilidades para que esse produto dê 0, não é? A primeira é se e a segunda é se . Para a segunda, temos:
Dessa forma, assim como podemos notar na figura do passo 1, teremos que descobrir o valor de 2 integrais, cujos intervalos de integração acabamos de encontrar!
Passo 3
Para calcularmos a área de uma região, assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas superiores e inferiores. Depois de descoberto isso, basta fazermos:
Onde, nesse caso, seria a curva superior e seria a curva inferior.
Para a primeira região rachurada da figura do passo 1, a curva superior é e a curva inferior é . Ademais, o intervalo é: .
Para a segunda região rachurada da figura do passo 1, a curva superior é e a curva inferior é . Ademais, o intervalo é: .
Passo 4
Agora que já temos TUUUDO que precisamos, basta escrevermos as integrais, se liga:
Mas e agora, como resolvemos essa integral? Então, o método que devemos utilizar para resolver essa integral é o de substituição de variável. Vamos fazer assim ó:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Voltando à nossa variável e substituindo os pontos, teremos:
Passo 5
Agora escrevendo nossa integral para a segunda região, teremos:
Como já resolvemos essa integral no passo anterior, temos que:
Lembrando que para resolvermos todas essas integrais, a única regra que utilizamos foi:
Sendo assim, a área total será a soma de todas essas áreas. Portanto, temos que: