Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 47

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = x sqrt(4 - x^2) e g ( x ) = 0 . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre [- 2,0] g (x) >= f ( x ) e entre o intervalo [0,2] ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em azul é dada por:

A = - int_(- 2)^0 - x sqrt(4 - x^2) d x + int_0^2 x sqrt(4 - x^2) d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f ( x ) em torno do eixo Y? Isto ocorre pois a função que queremos calcular é uma função ímpar [f (x) - g (x)] . Isto é:

[f (x) - g (x)] = - [f (- x) - g (- x)]

Desta forma, temos que:

- int_(- 2)^0 - x sqrt(4 - x^2) d x = int_0^2 x sqrt(4 - x^2) d x

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 int_0^2 x sqrt(4 - x^2) d x

Passo 4

Agora, enfim, precisamos resolver a nossa integral. Vamos fazer a mudança u = 4 - x^2 . Consequentemente, d x = - d u // 2 x . Além disto, vamos modificar os limites de integração. Portanto, quando x = 2 ⟹ u = 0 , já quando x = 0 ⟹ u = 4 . Fazendo esta mudança, temos:

A = 2 int_0^2 x sqrt(4 - x^2) d x = 2 int_4^0 x sqrt(u) - (d u)/(2 x)

A = - int_4^0 sqrt(u) d u = int_0^4 sqrt(u) d u

A = int_0^4 sqrt(u) d u = ([(2)/(3) u^((3)/(2))]|_0^4

A = (2)/(3) * sqrt(64) - ((2)/(3) * 0)

A = (2 * 8)/(3) = (16)/(3)

Resposta

A = (16)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a curva dada (coordenadas polares ).e) θ = π 4
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). m ) ρ 2 = tan ⁡ θ ,0 ≤ θπ 2( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). j ) ρ = 1 - sin ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). n ) ρ 2 = tan ⁡ 2 θ ,0 ≤ θπ 4( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). l ) rho = cos 4 theta