Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 47
Determine as áreas totais das regiões sombreadas
Passo 1
Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se ao longo de um intervalo , então a área entre as curvas e é dada por:
Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é , e o intervalo .
Passo 2
Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função e . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre e entre o intervalo ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em azul é dada por:
Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.
Passo 3
Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função em torno do eixo Y? Isto ocorre pois a função que queremos calcular é uma função ímpar . Isto é:
Desta forma, temos que:
Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:
Passo 4
Agora, enfim, precisamos resolver a nossa integral. Vamos fazer a mudança . Consequentemente, . Além disto, vamos modificar os limites de integração. Portanto, quando , já quando . Fazendo esta mudança, temos: