Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = x 4 - x 2 e g ( x ) = 0 . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre - 2,0 g x ≥ f ( x ) e entre o intervalo 0,2 ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em azul é dada por:

A = - ∫ - 2 0 - x 4 - x 2   d x + ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f ( x ) em torno do eixo Y? Isto ocorre pois a função que queremos calcular é uma função ímpar f x - g x . Isto é:

f x - g x = - f - x - g - x

Desta forma, temos que:

- ∫ - 2 0 - x 4 - x 2   d x = ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Passo 4

Agora, enfim, precisamos resolver a nossa integral. Vamos fazer a mudança u = 4 - x 2 . Consequentemente, d x = - d u / 2 x . Além disto, vamos modificar os limites de integração. Portanto, quando x = 2   ⟹ u = 0 , já quando x = 0   ⟹ u = 4 . Fazendo esta mudança, temos:

A = 2 ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x = 2 ∫ 4 0 x u - d u 2 x

A = - ∫ 4 0 u   d u = ∫ 0 4 u   d u

A = ∫ 0 4 u   d u = 2 3 u 3 2 0 4

A = 2 3 ⋅ 64 - 2 3 ⋅ 0

A = 2 ⋅ 8 3 = 16 3

Resposta

A = 16 3

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