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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 53

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = 2 x^2 e g (x) = x^4 - 2 x^2 . O intervalo de integração é [- 2,2] . Como a função f (x) >= g ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em azul é dada por:

A = int_(- 2)^2 2 x^2 - (x^4 - 2 x^2) d x

A = int_(- 2)^2 2 x^2 - x^4 + 2 x^2 d x

A = int_(- 2)^2 4 x^2 - x^4 d x

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f (x) e g ( x ) em torno do eixo Y ? Por causa desta simetria, temos a seguinte relação:

int_(- 2)^2 4 x^2 - x^4 d x = 2 int_0^2 4 x^2 - x^4 d x

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 int_0^2 4 x^2 - x^4 d x

Passo 4

Agora, chegamos a uma integral que conseguimos calcular facilmente. Portanto, temos:

A = 2 int_0^2 4 x^2 - x^4 d x = 2 ([(4)/(3) x^3 - (1)/(5) x^5]|_0^2

A = 2 ((4)/(3) * 2^3 - (1)/(5) * 2^5) - 2 ((4)/(3) * 0 - (1)/(5) * 0)

A = 2 ((32)/(3) - (32)/(5)) - 0

A = (128)/(15)

Resposta

A = (128)/(15)

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