Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = e x ,   y = x 2 - 1 ,   x = 1 ,   x = - 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá a seguinte região:

y = e x ,   y = x 2 - 1 ,   x = 1 ,   x = - 1

E pede pra a gente esboçar a região delimitada pelas curvas e calcular a sua área utilizando integral. Pra isso a gente tem que decidir se é melhor integrar com relação a x ou y !

Bora esboçar a área!

A função   y = x 2 - 1 , é uma função polinomial de segundo grau, ou seja, uma parábola. E como seu coeficiente angular é maior que 0, ou seja, sua concavidade é para cima. É a curva azul abaixo.

A função y = e x e exponencial. Ela vai pra infinito na direita e tende a 0 na esquerda. É a curva vermelha abaixo.

Como a curva e x fica “por cima” a altura do retângulo aproximadamente será:

e x - ( x 2 - 1 )

Se extrairmos uma parte desse retângulo, vamos ter que a altura será a diferença entre as curvas e a largura será a variação de x. Assim:

Nesse caso é mais simples integrar com respeito a x !

Okay? Agora é só calcularmos a área!!

Passo 2

E os intervalos? Então, a questão já nos deu os valores que são de x , assim temos:

A = ∫ - 1 1 [ e x - x 2 - 1 ] d x

Daí é só calcular a integral normalmente!!

A = e x - 1 3 x 3 + x - 1 1

A = e 1 - 1 3 1 3 + 1 - e - 1 - 1 3 - 1 3 - 1

A = e - 1 3 + 1 - e - 1 + 1 3 - 1

A nossa integral é

A = e - 1 e + 4 3

Prontinho!

Resposta

A = e - 1 e + 4 3

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