Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = sen(x), y = x, x = pi/2, x = pi

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá a seguinte região:

y = sin ⁡ x ,   y = x ,   x = π 2 ,   x = π

E pede pra a gente esboçar a região delimitada pelas curvas e calcular a sua área utilizando integral. Pra isso a gente tem que decidir se é melhor integrar com relação a x ou y !

Bora esboçar a área!

Olha, tem funções que de cara já da pra saber o que ela vai ser. Por exemplo, a função y = sin ⁡ x , sabemos que ela tem um comportamento especifico sendo positiva em π 2 e 3 π 2 . Já a função   y = x , é uma reta que passa pela origem.

Então, o nosso gráfico vai ser desse jeitinho:

Passo 2

O nosso intervalo vai de π / 2 até 3 π / 2 , então o que temos que calcular é essa areazinha de verde:

Repara que a curva y = x esta por “cima” e sin ⁡ x esta por baixo. Se extrairmos uma parte desse retângulo, vamos ter que a altura será a diferença entre as curvas e a largura será a variação de x. Assim:

Okay? Agora é só calcularmos a área!! Aqui vai ser mais simples integrar com respeito a x !

Passo 3

Montando a integral:

A = ∫ π 2 π [ x - sin ⁡ x ] d x

Daí é só calcular a integral normalmente!!

A = x 2 2 + cos ⁡ x π 2 π

A = π 2 2 + cos ⁡ π - π 2 8 - cos ⁡ π 2

A = π 2 2 - 1 - π 2 8

Chegamos em:

A = 3 π 2 8 - 1

Prontinho!

Resposta

A = 3 π 2 8 - 1

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