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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.1 - Ex. 44

Represente graficamente a região entre as curvas e use a calculadora para encontrar a área correta até a quinta casa decimal.

y = cos ⁡ x ,   y = x + 2 sin 4 ⁡ x

Passo 1

Primeiro, precisamos entender como cada função se comporta num gráfico. Sabemos que a função cosseno é positiva em π e 2 π . Já a função y = x + 2 sin 4 ⁡ x terá um comportamento mais especifico, deixando nosso gráfico com essa cara:

Por ele, percebemos que há três pontos de interseção e por isso teremos duas integrais com os seguintes intervalos de integração: x = a ≅ - 1,91 e x = b ≅ - 1,22 e x = c ≅ 0,61 .

Assim podemos calcular nossa área!!

Passo 2

Organizando as nossas integrais vamos ter:

A = ∫ a b ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) - cos ⁡ x d x + ∫ b c cos ⁡ x - ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) d x

Substituindo os intervalos:

A = ∫ - 1,91 - 1,22 ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) - cos ⁡ x d x + ∫ - 1,22 0,61 cos ⁡ x - ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) d x

Para A 1 = ∫ - 1,91 - 1,22 ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) - cos ⁡ x d x , resolvemos separadamente

A 1 = ∫ - 1,91 - 1,22 x d x + ∫ - 1,91 - 1,22 2 sin 4 ⁡ x d x - ∫ - 1,91 - 1,22 cos ⁡ x d x

A 1 = ∫ - 1,91 - 1,22 x d x + 2 ∫ - 1,91 - 1,22 sin 4 ⁡ x d x - ∫ - 1,91 - 1,22 cos ⁡ x d x

A 1 = x 2 2 - 1,91 - 1,22 + 2 ∫ - 1,91 - 1,22 sin 4 ⁡ x d x - sin ⁡ x - 1,91 - 1,22

A integral ∫ - 1,91 - 1,22 sin 4 ⁡ x d x , é calculada pela integral de potência:

∫ sin ⁡ x n d x = - 1 n × sin ⁡ x n - 1 cos ⁡ x + n - 1 n × ∫ sin  ⁡ x n - 2 d x

Logo,

∫ - 1,91 - 1,22 sin 4 ⁡ x d x = - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x + 3 4 × ∫ sin  ⁡ x 2 d x

Usando sin ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ 2 x 2   :

= - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x + 3 4 × ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2   d x

= - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x + 3 8 × ( x - sin ⁡ 2 x 2 )

Voltamos para a nossa integral:

A 1 = x 2 2 - 1,91 - 1,22 + 2 - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x + 3 8 × ( x - sin ⁡ 2 x 2 ) - 1,91 - 1,22 - sin ⁡ x - 1,91 - 1,22

Calculando isso, vamos ter:

A 1 = 2,57 + - 0,13 - 0,504 - ( - 0,939 + 0,943 )

A 1 = 1,932

Para A 2 = ∫ - 1,22 0,61 cos ⁡ x - ( x + 2 sin 4 ⁡ x ) d x , separando:

A 2 = ∫ - 1,22 0,61 cos ⁡ x d x - ∫ - 1,22 0,61 x d x - ∫ - 1,22 0,61 2 sin 4 ⁡ x d x

Como já temos essas integrais resolvidas, só substituímos

A 2 = sin ⁡ x - 1,22 0,61 - x 2 2 - 1,22 0,61 - 2 - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x + 3 8 × ( x - sin ⁡ 2 x 2 ) - 1,22 0,61

A 2 = 1,511 - 0,930 - ( 0,0212 + 0,1279 )

A 2 = 0,4319

Portanto,

A = A 1 + A 2

A = 1,932 + 0,4319

A = 2,36

Resposta

A = 2,36

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