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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 11

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

x ln ⁡ y + x y + y ln ⁡ x + x y y ' = 0 ; x > 0 , y > 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

y ln ⁡ x + x y d y = - ( x ln ⁡ y + x y ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x ln ⁡ y + x y d x + y ln ⁡ x + x y d y = 0

Assim temos que

d d y x ln ⁡ y + x y - d d x y ln ⁡ x + x y

= x y + x - y x + y = x 2 + x 2 y - y 2 - y 2 x x y ≠ 0

Logo nossa equação não é exata e não tem solução

Resposta

Não é exata

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d y d x = - 2 x y + 1 x 2 + 2 y
d y d x = e - x cos ⁡ y - e 2 y cos ⁡ x - e - x s e ny + 2 e 2 y s e nx
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. e )( x + y )d x + ( y - x ) d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. xd x + yd y + zd z
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. h )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,y0