Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

(x * ln(y) + x * y) + (y * ln(x) + x * y) * y' = 0; x > 0, y > 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

y ln ⁡ x + x y d y = - ( x ln ⁡ y + x y ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x ln ⁡ y + x y d x + y ln ⁡ x + x y d y = 0

Assim temos que

d d y x ln ⁡ y + x y - d d x y ln ⁡ x + x y

= x y + x - y x + y = x 2 + x 2 y - y 2 - y 2 x x y ≠ 0

Logo nossa equação não é exata e não tem solução

Resposta

Não é exata

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