Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquela integrais que são convergentes.

∫ - 1 1 e x e x - 1   d x

Passo 1

Vamos dividir essa integral em duas:

∫ - 1 1 e x e x - 1   d x = ∫ - 1 0 e x e x - 1   d x + ∫ 0 1 e x e x - 1   d x

A integral indefinida dessa função é:

∫ e x e x - 1 d x = ln ⁡ e x - 1

Passo 2

Quando substituirmos os limites de integração, o zero vai nos causar problemas:

∫ - 1 0 e x e x - 1   d x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x - 1 - ln ⁡ e - 1 - 1

∫ 0 1 e x e x - 1   d x = ln ⁡ e 1 - 1 - lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x - 1

O termo ln ⁡ e 0 - 1 aparece nas duas integrais, mas:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x - 1 = lim u → 0 ⁡ ln ⁡ u = ∞

Ou seja, esse limite não é finito, então as integrais divergem.

Resposta

A integral diverge.

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Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ 3 d x x 2 + 9
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ 0 e x d x 3 - 2 e x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 + ∞ x e - x 2 d x
Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ 1 + ∞ e - x d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t