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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 26

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 1 ∞ d x x + x x

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 1 ∞ d x x + x x

E pra ajudar a gente a resolver essa integral, mudar de variável, tendo x = u 2 , então d x = 2 u   d u , confia em mim, isso vai ajudar muito porque vai tirar a raiz:

∫ 2 u   d u u + u 2 ⋅ u → ∫ 2 u   d u u + u 3

→ ∫ 2 u   d u u 1 + u 2 → ∫ 2   d u 1 + u 2

→ 2 ∫ d u 1 + u 2

Passo 2

Beleza, a gente sabe que a derivada do arctan ⁡ t é:

1 1 + u 2

Então a gente pode concluir que:

2 ∫ d u 1 + u 2 = 2 arctan ⁡ u + C

Voltando pra x , lembrando que x = u 2 :

2 arctan ⁡ u + C = 2 arctan ⁡ x + C

Passo 3

Show de bola, assim temos:

∫ 1 ∞ d x x + x x = 2 arctan ⁡ x + C 1 ∞

= 2 arctan ⁡ ∞ + C - 2 arctan ⁡ 1 + C

= 2 π 2 + C - 4 π 2 - C

= 2 π 2 - π 2 = π 2

Pronto galera, então a gente já sabe que converge para π 2 .

Resposta

Converge para π 2

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ cos 2 ⁡ ( α ) d α
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 1 ∞cos 2 ⁡ x 1 + x 2
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 1 ∞d x x + e 2 x
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 1 ∞x 1 + x 6 d x
Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.