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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 49

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:

∫ 1 ∞   cos 2 ⁡ x 1 + x 2

Passo 1

Vamos pensar em como a função cos 2 ⁡ x se comporta no intervalo 1 ≤ x ≤ ∞ :

0 ≤ cos 2 ⁡ x ≤ 1

Isso quer dizer que podemos afirmar o seguinte:

cos 2 ⁡ x 1 + x 2 ≤ 1 1 + x 2

Beleza, e para que podemos usar essa relação?

Bom, se conseguirmos provar que a função da direita faz a integral convergir, então, pelo teorema da comparação, poderíamos dizer que a função da esquerda também faz.

Na verdade, podemos “simplificar” a função ainda mais:

cos 2 ⁡ x 1 + x 2 ≤ 1 1 + x 2 ≤ 1 x 2

Passo 2

Vamos então avaliar a integral com essa nova função:

I = ∫ 1 ∞   d x x 2

A integral indefinida é - 1 / x , então vamos substituir os limites de integração:

I = lim x → ∞ ⁡ - 1 x - - 1 1

I = 0 + 1 = 1

Ou seja, essa integral converge.

Então, pelo teorema da comparação, a integral do enunciado também converge.

Resposta

A integral converge.

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