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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 32

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.

32. y = 1 + x 1 + e x ,     0 , 1 2  

Passo 1

O significado geométrico da tangente em determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente a função naquele ponto. Uma equação de reta é da forma:

y = A x + B

Onde A é o coeficiente angular da reta e B é o coeficiente linear. Quando derivamos a função no ponto 0 , 1 2 nós já obtemos o coeficiente angular:

Passo 2

Precisamos usar a regra do quociente para derivarmos essa função:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

Onde

u = 1 + x

e

v = 1 + e x

Aplicando na nossa equação:

y ' = d d x 1 + x ⋅ 1 + e x - d d x 1 + e x ⋅ 1 + x 1 + e x 2

y ' = 1 ⋅ 1 + e x - e x ⋅ 1 + x 1 + e x 2

y ' = 1 - x e x 1 + e x 2

Aplicando a derivada no ponto 0 , 1 2 para encontrarmos o coeficiente angular:

y ' 0 = 1 - 0 e 0 1 + e 0 2

y ' 0 = 1 4

Passo 3

Agora colocando na equação da reta:

y = 1 4 x + B

Substituindo os valores do ponto:

1 2 = 1 4 0 + B

B = 1 2

Então a equação da reta tangente nesse ponto é igual a:

y = 1 4 x + 1 2

Resposta

y = 1 4 x + 1 2

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