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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Ache o comprimento da curva.

x = (y^4)/(8) + (1)/(4 y^2) 1 <= y <= 2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Como nos foi dado x como função de y , a expressão que usaremos é

L = int_a^b sqrt(1 + (x^')^2) d y

Derivando x com relação a y :

x^' = (4 y^3)/(8) - 2 * (1)/(4 y^3) = (1)/(2) y^3 - (1)/(2 y^3)

Assim,

1 + (x^')^2 = 1 + (1)/(4) y^6 - 2 * (1)/(2) * (1)/(2) + (1)/(4 y^6) = (1)/(2) + (y^6)/(4) + (1)/(4 y^6)

Fazendo o mmc com os denominadores:

1 + (x^')^2 = (2 y^6 + y^(12) + 1)/(4 y^6) = ((y^6 + 1)^2)/(4 y^6)

Portanto,

sqrt(1 + (x^')^2) = (y^6 + 1)/(2 y^3) = (y^3)/(2) + (1)/(2 y^3)

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_1^2 ((y^3)/(2) + (1)/(2 y^3)) d y = [(y^4)/(8) - (1)/(4 y^2)]_1^2

Substituindo os limites de integração:

L = (16)/(8) - (1)/(16) - ((1)/(8) - (1)/(4)) = (32)/(16) - (1)/(16) + (1)/(8) = (32 - 1 + 2)/(16)

Assim,

L = (33)/(16)

Resposta

(33)/(16)

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Ache o comprimento do arco da curva y = 1 3 x 2 + 2 3 / 2 do ponto onde x = 0 ao ponto onde x = 3 .
Calcule o comprimento do segmento de reta 5 x - 2 y = 10 entre os seus interceptos x e y por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.
Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 ( a é uma constante, a1 ) no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = a .
Se f x = ∫ 0 x cos ⁡ td t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x = π 3 ao ponto onde x = π 2 .
Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (26) O arco da curva y = t g x , da origem ao ponto ( 1 4 π , 1 ) .