Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 35

Dada

f (x) = {[[(e^x - e^(- x))/(e^(2 x) - e^(- 2 x)),s,e,x,=,0],[1,s,e,x,!=,0]])

a ) f é contínua em 0 ?

b ) Ache underset(x -> + oo)(lim) f (x) , se existir.

Passo 1

Letra a

Para determinar se esa função é contínua, devemos achar o limite em 0 e verificar se ele é igual a 1 , pois esse é o valor da função em x = 0 .

Fora desse ponto temos uma função contínua sempre.

Temos que calcular o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (e^x - e^(- x))/(e^(2 x) - e^(- 2 x))

Primeiro vamos substituir o valor de x = 0

underset(x -> 0)(lim) (e^x - e^(- x))/(e^(2 x) - e^(- 2 x)) = (e^0 - e^(- 0))/(e^(2 (0)) - e^(- 2 (0))) = (1 - 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Opa, deu uma indeteimrnação. Vamos trabalhar isso aí

Passo 2

Primeiro, vamos reparar que:

e^(2 x) - e^(- 2 x) = (e^x)^2 - (e^(- x))^2

Esse é um produto notável, a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) , então:

e^(2 x) - e^(- 2 x) = (e^x)^2 - (e^(- x))^2 = (e^x - e^(- x)) (e^x + e^(- x))

Voltando para o limite

underset(x -> 0)(lim) (e^x - e^(- x))/((e^x - e^(- x)) (e^x + e^(- x)))

Simplificando:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(e^x + e^(- x)) = (1)/(e^0 + e^(- 0)) = (1)/(2)

Como esse valor é diferente do valor da função no ponto, ela não é continua em x = 0

Passo 3

Letra b

underset(x -> + oo)(lim) f (x) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x - e^(- x))/(e^(2 x) - e^(- 2 x))

Mas já arrumarmos aquela expressão da função:

underset(x -> + oo)(lim) (e^x - e^(- x))/(e^(2 x) - e^(- 2 x)) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(e^x + e^(- x)) = (1)/(e^(oo) + e^(- oo)) = (1)/(oo) = 0

Resposta

Letra a

Não é continua

Letra b

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A gerente de uma lanchonete determina que o tempo médio de espera de seus clientes para serem atendidos seja de 2,5 minutos. Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar mais de4 minutos. Calc
A roleta de um jogo de mesa indica aleatoriamente um número real entre 0 e 10 . A roleta é honesta, no sentido de que indica um número em um dado intervalo com a mesma probabilidade que indica um núme
O desvio padrão para uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f e média μ é definido como σ = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x 1 2 Calcule o desvio padrão para uma função densidade exponenc
Explique por que a função cujo gráfico é mostrado é uma função densidade de probabilidade. Use o gráfico para encontrar as seguintes probabilidades: P ( X3 ) P ( 3 ≤ X ≤ 8 ) Calcule a média.
O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron, que se move ao redor do núcleo. Na teoria quântica de estrutura atômica supõe-se que o elétron não se mova em uma órbita bem defi