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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 34

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 1 1 4 y - 1   d y

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Note que o problema no integrando ocorre em x = 1 4 , de modo que devemos quebrar a integral em duas:

∫ 0 1 1 4 y - 1   d y = ∫ 0 1 4 1 4 y - 1   d y + ∫ 1 4 1 1 4 y - 1   d y

Para que a integral da esquerda convirja, as duas integrais da direita devem ser convergentes.

Passo 2

Olhando para a primeira integral, antes de tomar o limite, temos que

∫ 0 t 1 4 y - 1   d y = 1 4 ln ⁡ 4 y - 1 0 t = 1 4 ln ⁡ 4 t - 1 - ln ⁡ 1 = 1 4 ln ⁡ | 4 t - 1 |

Quando t → 1 4 - , temos que | 4 t - 1 | → 0 e assim, ln ⁡ | 4 t - 1 | → - ∞ . Assim, essa integral diverge.

Passo 3

Como uma das integrais já é divergente, não precisamos perder nosso tempo calculando a outra integral! A integral ∫ 0 1 1 4 y - 1   d y diverge.

Resposta

Diverge.

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