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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 40

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 0 1 e 1 / x   x 3   d x

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 1 e 1 / x   x 3   d x

Confia em mim, pra facilitar essa integral pra gente é melhor, e bem fácil mudar de variável pra t , a gente vai adotar:

t = 1 x → x = 1 t

E a derivada:

d t = d x x 2

Então, substituindo na nossa integral temos:

∫ e t   1 / t   d t = ∫ t ⋅ e t   d t

Passo 2

Beleza, a gente já pode integrar:

∫ t ⋅ e t   d t

A gente vai ter que usar a derivada por partes que é:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

E a gente vai ter que:

u = t

Derivando:

d u = d t

E:

d v = e t   d t

Integrando:

v = e t

Assim nossa integral será:

∫ t ⋅ e t   d t = t ⋅ e t - ∫ e t   d t

= t e t - e t + C = e t t - 1 + C

Voltando pra variável antiga:

= e 1 x 1 x - 1 + C

Então, a tem deduz que:

∫ 0 1 e 1 / x   x 3   d x = e 1 x 1 x - 1 + C 0 1

Passo 3

Show de bola, agora a gente só precisar calcular:

e 1 x 1 x - 1 + C 0 1

= e 1 1 1 1 - 1 + C - e 1 0 1 0 - 1 + C

= e 0 - e ∞ ∞ = - ∞

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral diverge.

Resposta

Diverge

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