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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 37

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 0 1 r ⋅ ln ⁡ r   d r

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 1 r ⋅ ln ⁡ r   d r

A gente pode usar a integração por partes para essa integral, que é:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

E vamos chamar:

u = ln ⁡ ( r )

Assim:

d u = 1 r d r

E:

d v = r   d r

Então:

v = r 2 2

Na integração por parte ficamos com:

∫ r ⋅ ln ⁡ r   d r = r 2 2 ln ⁡ ( r ) - ∫ r 2 2 ⋅ 1 r d r

Passo 2

Beleza, a gente já pode integrar:

r 2 2 ln ⁡ r - ∫ r 2 d r

= r 2 2 ln ⁡ ( r ) - r 2 4 + C = r 2 2 ln ⁡ r - 1 2 + C

Então nossa integral é:

∫ 0 1 r ⋅ ln ⁡ r   d r = r 2 2 ln ⁡ r - 1 2 + C 0 1

Passo 3

Show de bola, agora a gente só precisar calcular:

r 2 2 ln ⁡ r - 1 2 + C 0 1

Vamos lá:

1 2 ln ⁡ 1 - 1 2 + C - 0 ln ⁡ 0 - 1 2 + C

= 1 2 0 - 1 2 = - 1 4

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral converge para - 1 4 .

Resposta

Converge para - 1 4

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Suponha que f e g sejam funções contínuas e que 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) se x ≥ a . Dê um argumento informal razoável para explicar por que os seguintes argumentos são verdadeiros.(a)Se ∫ a + ∞ f x d x d
53-56Use os resultados do Exercício 52.53.(a)Confirme gráfica e algebricamente que e - x 2 ≤ e - x ( x ≥ 1 ) (b)Calcule a integral ∫ 1 + ∞ e - x d x (c)O que o resultado obtido em (b) diz sobre a inte