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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 38

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😉

Nesse problema queremos determinar se a integral dada por

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

É convergente ou divergente...

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

Antes de tudo, analizando nossa função de integração e os limites de integração vemos que o intervalo de integração é de θ = 0 a θ = π / 2 .

Porem, em θ = 0 a função cos ⁡ θ sin ⁡ θ não está definida pois sin ⁡ θ é igual a 0 .

Dessa forma, a integral que vamos trabalhar é uma integral imprópria e para calcular seu resultado, temos que fazer

lim t → 0 ⁡ ∫ t π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Veja só! 😁

Passo 2

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = lim t → 0 ⁡ ∫ t π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Confia em mim, pra facilitar essa integral pra gente é melhor, e bem fácil mudar de variável pra x , a gente vai adotar:

x = sin ⁡ θ

E a derivada:

d x = cos ⁡ θ d θ

Então, substituindo na nossa integral temos:

∫ d x x

Passo 3

Beleza, a gente já pode integrar:

∫ d x x = ∫ x - 1 2   d x

Usando a regra geral temos:

∫ d x x = 2 x 1 2 + C

Voltando x para sin ⁡ θ ...

∫ cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = 2 sin ⁡ θ + C

Passo 4

Show de bola, agora a gente só precisar substituir na integral e aplicar os limites de integração...

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = lim t → 0 ⁡ ∫ t π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Vamos lá:

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = lim t → 0 ⁡ 2 sin ⁡ θ + C t π 2

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = lim t → 0 ⁡ 2

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = 2

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral converge para 2 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge para 2

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Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir. ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x ln ⁡ x + 1d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 1 ∞ cos ⁡ 2 x xd x
Suponha f integrável em a , t , para todo t≥ a , com f x ≥ 0 em [ a , + ∞ [ . Suponha que existem um a real e uma função g tais que, para todo x ≥ a , f x = 1 x a g x . Suponha além disso que l i m x
Suponha que f e f ' sejam de ordens exponencial γ 1 e γ 2 , respectivamente. Suponha, ainda, que f ' ' seja contínua. Verifique que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 -
Seja f uma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial γ . Verifique que, para sγ , ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t é convergente e que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0