Calcule a integral.

∫ 0 5 3 w - 1 w + 2 d w

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ 3 w - 1 w + 2 d w

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos destrinchar um pouco a expressão:

∫ 3 w - 1 w + 2 d w = ∫ 3 - 7 w + 2 d w = ∫ 3 d w + ∫ - 7 w + 2 d w

Vamos calcular as duas integrais separadamente, para ficar mais simples de acompanhar.

Passo 2

É fácil achar a primitiva da função da primeira integral, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 3 d w = 3 w + C

Com a segunda vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do denominador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = w + 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   d w

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 7 w + 2 d w = ∫ - 7 u d u

É fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Ficamos então com:

∫ - 7 u d u = - 7 ∫ 1 u d u = - 7 ln ⁡ u + C

Passo 3

Vamos juntar as duas agora:

∫ 3 w - 1 w + 2 d w = ∫ 3 d w + ∫ - 7 w + 2 d w = 3 w - 7 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável w , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = w + 2 :

∫ 3 w - 1 w + 2 d w = 3 w - 7 ln ⁡ u + C = 3 w - 7 ln ⁡ w + 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 5 3 w - 1 w + 2 d w = 3 w - 7 ln ⁡ w + 2 0 5 = 3 . 5 - 7 ln ⁡ 5 + 2 - 3 . 0 - 7 ln ⁡ 0 + 2 = 15 - 7 ln ⁡ 7 + 7 ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 5 3 w - 1 w + 2 d w = 15 - 7 ln ⁡ 7 + 7 ln ⁡ 2

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