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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 37

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - 1 0 e 1 x x 3 d x

Passo 1

A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.

Neste caso, o problema no integrando ocorre em x = 0 , de modo que devemos primeiro calcular a integral

∫ - 1 t e 1 x x 3 d x

e só depois fazer t → 0 .

Passo 2

Vamos achar uma primitiva para e 1 x / x 3 usando integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, chamando u = 1 / x e d v = e 1 x d x / x 2 , segue que d u = - d x / x 2 e v = - e 1 / x . Desta forma

∫ e 1 x x 3 d x = - e 1 x x - ∫ e 1 x x 2 d x = - e 1 x x + e 1 x = e 1 x   1 - 1 x

Assim,

∫ - 1 t e 1 x x 3 d x = e 1 x   1 - 1 x - 1 t = e 1 t   1 - 1 t - e - 1 1 + 1 = e 1 t   1 - 1 t - 2 e

Passo 3

Agora vamos fazer t → 0 - :

lim t → 0 - ⁡ e 1 t   1 - 1 t - 2 e = - 2 e + lim t → 0 - ⁡ e 1 t - lim t → 0 - ⁡ e 1 t t

Note que lim t → 0 - ⁡ e 1 t = 0 , pois e “elevado” a menos infinito é 0 . Para a segunda integral, vamos fazer uma mudança de variável: u = 1 / t , de modo que

lim t → 0 - ⁡ e 1 t t = lim u → - ∞ ⁡ u e u = lim u → - ∞ ⁡ u e - u

Note que agora temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, então podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim u → - ∞ ⁡ u e - u = lim u → - ∞ ⁡ 1 - e - u = lim u → - ∞ ⁡ - e u = 0

Assim,

lim t → 0 - ⁡ e 1 t   1 - 1 t - 2 e = - 2 e + 0 - 0 = - 2 e

Portanto a integral converge.

Resposta

- 2 e

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