Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.
Neste caso, o problema no integrando ocorre em , de modo que devemos primeiro calcular a integral
e só depois fazer .
Passo 2
Vamos achar uma primitiva para usando integração por partes:
Assim, chamando e , segue que e . Desta forma
Assim,
Passo 3
Agora vamos fazer :
Note que , pois “elevado” a menos infinito é . Para a segunda integral, vamos fazer uma mudança de variável: , de modo que
Note que agora temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, então podemos aplicar a regra de L’Hospital:
Assim,
Portanto a integral converge.