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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 9

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 ∞ 1 x 3   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso temos dois problemas: o limite infinito e o fato do denominador se anular em x = 0 . Assim, temos que

∫ 0 ∞ 1 x 3   d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 3 d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 3 d x

Para que essa integral seja convergente, ambos os limites devem existir! AMBOS!!!!

Passo 2

Note que

∫ a 1 1 x 3 d x = - 1 2 x 2 a 1 = - 1 2 + 1 2 a 2

Por outro lado,

∫ 1 b 1 x 3 d x = - 1 2 x 2 1 b = - 1 2 b 2 + 1 2

Passo 3

Agora vamos tomar os limites. Para b → ∞ :

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 3 d x = lim b → ∞ ⁡ - 1 2 b 2 + 1 2 = 1 2

Bom, um dos limites existe, mas ainda temos que verificar o outro:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 3 d x = lim a → 0 + ⁡ - 1 2 + 1 2 a 2 = ∞

Como um dos limites não é infinito, mesmo o outro sendo, a integral não será convergente!

Resposta

Diverge.

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫