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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 5

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 ∞ x   2 - x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ 0 t x   2 - x   d x

e sem seguida tomar o limite t → ∞ .

Para transformar a base da exponencial em base natural:

y = 2 - x ⇒ ln ⁡ y = - x ln ⁡ 2 ⇒ y = e - x ln ⁡ 2

Assim,

I = ∫ 0 t x   e - x ln ⁡ 2   d x

Passo 2

Para calcularmos essa integral teremos que usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = x e d v = e - x ln ⁡ 2   d x , segue que

d u = d x           e           v = - 1 ln ⁡ 2 e - x ln ⁡ 2

Assim,

I = ∫ 0 t x   e - x ln ⁡ 2   d x = - x ln ⁡ 2 e - x ln ⁡ 2 0 t + 1 ln ⁡ 2 ∫ 0 t e - x ln ⁡ 2   d x

Desta forma, fazendo a segunda integração:

I = - t ln ⁡ 2 e - t ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 2 2 e - x ln ⁡ 2 0 t

Portanto,

I = - t ln ⁡ 2 e - t ln ⁡ 2 - 1 ln 2 ⁡ 2 e - t ln ⁡ 2 - 1

Voltando para base 2 :

I = - 1 ln ⁡ 2 t   2 - t + 2 - t ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 2

Passo 3

Quando tomamos o limite t → ∞ , 2 - t → 0 . Mas o que acontece com t   2 - t ? Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0 ⋅ ∞ . Vamos usar a regra de L’Hospital:

lim t → ∞ ⁡ t   2 - t = lim t → ∞ ⁡ t 2 t

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos derivar tanto o numerador como o denominador:

lim t → ∞ ⁡ t 2 t = lim t → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 ⋅ 2 t = 0

Portanto, o termo t   2 - t também tende a 0 . Assim,

lim t → ∞ ⁡ I = - 1 ln ⁡ 2 0 + 0 - 1 ln ⁡ 2 = 1 ln 2 ⁡ 2

Resposta

1 ln 2 ⁡ 2

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