Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 π / 2 1 1 - s e n   y   d y

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. O problema dessa integral acontece quando 1 - s e n   y = 0 ⇒ s e n   y = 1 ⇒ y = π / 2 . Assim, temos que fazer

∫ 0 π / 2 1 1 - s e n   y   d y = lim t → π 2 - ⁡ ∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y

Para que essa integral seja convergente, o limite deve existir.

Passo 2

Para calcular a primitiva, vamos multiplicar e dividir por 1 + s e n   y :

∫ 1 1 - s e n   y   d y = ∫ 1 1 - s e n   y ⋅ 1 + s e n   y 1 + s e n   y   d y = ∫ 1 + s e n   y 1 - s e n 2 y   d y

Assim,

∫ 1 1 - s e n   y   d y = ∫ 1 + s e n   y cos 2 ⁡ y   d y = ∫ sec 2 ⁡ y + sec ⁡ y tan ⁡ y d y

Portanto, calculando as integrais:

∫ 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ y + sec ⁡ y

Desta forma,

∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ y + sec ⁡ y 0 t = tan ⁡ t + sec ⁡ t - tan ⁡ 0 - sec ⁡ 0

Logo,

∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ t + sec ⁡ t - 1

Passo 3

Tomando o limite com t → π 2 - , temos que cos ⁡ t → 0 + , de modo que sec ⁡ t → ∞ . Assim, temos que

lim t → π 2 - ⁡ tan ⁡ t + sec ⁡ t - 1 = ∞

Como o limite não existe, a integral é divergente!

Resposta

Diverge.

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