Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Integração por Partes:

Vamos fazer então e :

e

Vamos calcular para poder substituir na fórmula de Integração por partes:

Vamos usar uma substituição:

Vamos substituir agora:

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Assim vamos ficar com:

Não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Vamos substituir agora:

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Agora vamos usar uma substituição trigonométrica:

Vamos substituir agora:

Vamos manipular um pouco essa expressão usando a identidade trigonométrica e que :

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

É fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Assim vamos ficar com:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , para isso vamos fazer um esquema pela figura abaixo:

Temos então que:

Vamos substituir agora:

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Vamos lá:

A integral converge, pois o limite existe.