Determine cada um dos seguintes limites

a) lim x→0+ (sen(x))^(csc(x)) b) lim x→+∞ (sen(1/x))^x

Passo 1

a) l i m x → 0 + sen ⁡ x csc ⁡ x .

Ao tentar calcular o limite, chegaríamos no resultado 0 + ∞ . Diante disso, vamos manipular a expressão utilizando logaritmo para chegar em um resultado que conhecemos e sabemos não ser uma indeterminação.

l i m x → 0 + sen ⁡ x csc ⁡ x = l i m x → 0 + e ln ⁡ sen ⁡ x csc ⁡ x = l i m x → 0 + e csc ⁡ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x  

Agora observe que:

l i m x → 0 + csc ⁡ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x = l i m x → 0 + csc ⁡ x ⏟ + ∞ ⋅ l i m x → 0 + ln ⁡ ( sen ⁡ x ) ⏟ - ∞ = - ∞

Sendo assim,

l i m x → 0 + sen ⁡ x csc ⁡ x = l i m x → 0 + e csc ⁡ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x = e l i m x → 0 + csc ⁡ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x = e - ∞ = 0

l i m x → 0 + sen ⁡ x csc ⁡ x = 0

Passo 2

b) l i m x → + ∞ sen ⁡ 1 x x

Vamos manipular a expressão usando logaritmo, pois ao calcular o limite a cima diretamente, chegaríamos em 0 + ∞ .

l i m x → + ∞ sen ⁡ 1 x x = l i m x → + ∞ e ln ⁡ sen ⁡ 1 x x = l i m x → + ∞ e x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ 1 x

Agora observe que:

l i m x → + ∞ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ 1 x = l i m x → + ∞ x ⏟ + ∞ ⋅ l i m x → + ∞ ln ⁡ sen ⁡ 1 x ⏟ - ∞ = - ∞

Sendo assim,

l i m x → + ∞ sen ⁡ 1 x x = l i m x → + ∞ e x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ 1 x = e l i m x → + ∞ x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ 1 x = e - ∞ = 0

l i m x → + ∞ sen ⁡ 1 x x = 0

Resposta

  1. l i m x → 0 + sen ⁡ x csc ⁡ x = 0
  2. l i m x → + ∞ sen ⁡ 1 x x = 0

0 + ∞ não é uma indeterminação, sempre conseguimos manipular a expressão e chegar no resultado 0 .

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