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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 43

Determine cada um dos seguintes limites

a ) . underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) b ) underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x

Passo 1

a) underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) .

Ao tentar calcular o limite, chegaríamos no resultado 0^(+ oo) . Diante disso, vamos manipular a expressão utilizando logaritmo para chegar em um resultado que conhecemos e sabemos não ser uma indeterminação.

underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) = underset(x -> 0^+)(l i m) e^(ln (sen x)^(csc x)) = underset(x -> 0^+)(l i m) e^(csc x * ln (sen x))

Agora observe que:

underset(x -> 0^+)(l i m) csc x * ln (sen x) = underset(+ oo)(ubrace underset(x -> 0^+)(l i m) csc x) * underset(- oo)(ubrace underset(x -> 0^+)(l i m) ln ( sen x )) = - oo

Sendo assim,

underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) = underset(x -> 0^+)(l i m) e^(csc x * ln (sen x)) = e^(underset(x -> 0^+)(l i m) csc x * ln (sen x)) = e^(- oo) = 0

underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) = 0

Passo 2

b) underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x

Vamos manipular a expressão usando logaritmo, pois ao calcular o limite a cima diretamente, chegaríamos em 0^(+ oo) .

underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x = underset(x -> + oo)(l i m) e^(ln (sen ((1)/(x)))^x) = underset(x -> + oo)(l i m) e^(x * ln (sen ((1)/(x))))

Agora observe que:

underset(x -> + oo)(l i m) x * ln (sen ((1)/(x))) = underset(+ oo)(ubrace underset(x -> + oo)(l i m) x) * underset(- oo)(ubrace underset(x -> + oo)(l i m) ln (sen ((1)/(x)))) = - oo

Sendo assim,

underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x = underset(x -> + oo)(l i m) e^(x * ln (sen ((1)/(x)))) = e^(underset(x -> + oo)(l i m) x * ln (sen ((1)/(x)))) = e^(- oo) = 0

underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x = 0

Resposta

  1. underset(x -> 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) = 0
  2. underset(x -> + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x = 0

0^(+ oo) não é uma indeterminação, sempre conseguimos manipular a expressão e chegar no resultado 0 .

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