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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 16

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dado o limite lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2

E nosso objetivo é calcular esse limite usando a regra de L ' H o p i t a l .

Lembra como fazemos isso?

Para aplicar a regra de L ' H o p i t a l derivamos o numerador e o denominador da função dada quando temos uma indeterminação do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

Veja só!

Passo 2

Como temos

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2

Derivando o numerador e o denominador pelo método de derivação polinomial, temos

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2 → lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x - 4 x

Se substituirmos x agora vamos continuar em uma indeterminação, então vamos aplicar a regra novamente.

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2 → lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x - 4 x → lim x → ∞ ⁡ 2 - 4

lim x → ∞ ⁡ 2 - 4 = - 1 2

E assim conseguimos encontrar nosso limite!

Passo 3

Por descargo de consciência, vamos mostrar que podemos resolver esse limite simplificando, colocando x 2 em evidência tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2

lim x → ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x x 2 - 2 + 1 x 2

Simplificando e aplicando o limite...

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x - 2 + 1 x 2 = 1 + 0 - 2 + 0 = - 1 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 1 - 2 x 2 = - 1 2

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x