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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 38

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triangulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1

Passo 1

Para calcular a ára da superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Temos então que achar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , vamos lá:

∂ z ∂ x = ∂ 1 + 3 x + 2 y 2 ∂ x = 3

∂ z ∂ y = ∂ 1 + 3 x + 2 y 2 ∂ y = 4 y

Passo 2

Agora a reta com os pontos 0,0 e 2,1 é:

y = 1 2 x → x = 2 y

Que nos dá:

0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 2 y

Pronto, é só agora substituir na integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y 1 + 3 2 + 4 y 2 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y 1 0 + 16 y 2 d x d y = ∫ 0 1 10 + 16 y 2 x 0 2 y d y = ∫ 0 1 2 y 10 + 16 y 2 d y = 1 16 . 2 3 10 + 16 y 2 3 2 0 1 = 1 24 26 3 2 - 10 3 2

Resposta

A S = 1 24 26 3 2 - 10 3 2

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Calcule a área das seguintes superfícies. d) Superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 12 que não está no interior do paraboloide z = x 2 + y 2 .
∬ S x 2 + y 2 d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Seja S a superfície obtida girando-se a curva plana z = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 em torno do eixo z . Calcule ∬ S 1 | x y | x 2 + y 2 d s , onde S 1 é a porção de S que se encontra no interior do cilindro
Sabendo-se que o centro de massa ( x c , u c , z c ) de uma superfície S é definido por x c = ∬ S x f x , y , x d s M , y c = ∬ S y f x , y , x d s M e z c = ∬ S z f x , y , x d s M ,onde M é a massa
Sabendo-se que o centro de massa ( x c , u c , z c ) de uma superfície S é definido por x c = ∬ S x f x , y , x d s M , y c = ∬ S y f x , y , x d s M e z c = ∬ S z f x , y , x d s M ,onde M é a massa