Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 18

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que

Passo 1

Fala aê, minha galera! Tudo beleza?

A questão pede pra gente descobrir se o campo vetorial abaixo é conservativo ou não.

Se for conservativo, mas descobrir uma função para

Pra comprovar se é conservativo ou não, precisamos calcular o rotacional, dado pela fórmula

Onde para nós

Se , não é conservativo.

Passo 2

Então vamos calcular o rotacional

Assim, teremos

Como o domínio de é todo o espaço, e então é conservativo.

Passo 3

Para achar , vamos integrar em relação a

Sendo uma constante.

E sabemos que

Então derivando a função que encontramos em relação a e igualando

Como a variação em relação a é , só depende de

E temos

Derivando em

Integrando

E a função é

Resposta

é conservativo.

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Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:c) f → x ,y ,z = y e z ,x e z ,x y e z em R 3 .

Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:b) f → x ,y ,z = 2 x x 2 + y 2 + z 2 i → + 2 y x 2 + y 2 + z 2 j → + 2 z x 2 + y 2 + z 2 k → em qualquer domínio simplesmente

Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.f) f → = e x i → + 2 e y j → + 3 e z k →

Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:a) f → x ,y ,z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 3 2 j → + z x 2 + y 2 + z 2 3 2 k → em qualquer domínio simples

Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.e) f → = 10 x z + y sen ⁡ x y i → + x sen ⁡ x y j → + 5 x 2 k →