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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 15

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = 2 x y   i + x 2 + 2 y z j + y 2   k

Passo 1

Fala, galera! Tudo belezinha? 😉

Precisamos determinar se o campo vetorial

F x , y , z = 2 x y   i + x 2 + 2 y z j + y 2   k

É conservativo ou não. E se for conservativo, determinar uma função para

F = ∇ f

Gente, uma forma de comprovar se é ou não conservativo é calculando o rotacional, dado pela fórmula

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

Onde para nós

F x = 2 x y

F y = x 2 + 2 y z

F z = y 2

Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo,

Passo 2

Então vamos calcular o rotacional através da fórmula:

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x y x 2 + 2 y z y 2

Com isso, teremos

∂ ∂ y y 2 - ∂ ∂ z x 2 + 2 y z i - ∂ ∂ x y 2 - ∂ ∂ z 2 x y j + ∂ ∂ x x 2 + 2 y z - ∂ ∂ y 2 x y k

Organizando,

2 y - 2 y i - 0 - 0 j + 2 x - 2 x k

r o t   F = 0

Como o domínio de F é todo o espaço, e r o t   F = 0 então F é conservativo.

Passo 3

Para achar f , vamos integrar 2 x y em relação a x

f = ∫ 2 x y   d x

f = x 2 y + g ( y , z )

Onde g será uma constante.

E sabemos que

f y = x 2 + 2 y z

f z = y 2

Então derivando a função que encontramos em relação a y e igualando

∂ f ∂ y = x 2 + ∂ g ∂ y

x 2 + ∂ g ∂ y = x 2 + 2 y z

∂ g ∂ y = 2 y z

Integrando temos

g = ∫ 2 y z   d y

g = y 2 z + h ( z )

E temos

f = x 2 y + y 2 z + h ( z )

Derivando em z

∂ f ∂ z = y 2 + ∂ h ∂ z

y 2 + ∂ h ∂ z = y 2

∂ h ∂ z = 0

Como a variação em relação a z é 0 , h é constante

h = C

E a função é

f = x 2 y + y 2 z + C

Resposta

F é conservativo.

f = x 2 y + y 2 z + C

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