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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 59

Determine o centroide da região delimitada no primeiro quadrante pela curva y = 1 x + 1 e pela reta x = 3 .

Passo 1

Para calcular as coordenadas do centroide de uma região de área A podemos fazer:

x - =   1 A ∫ a b x   d A

y - = 1 A ∫ a b y   d A

Calculando a área, ficamos com:

A =   ∫ 0 3 1 x + 1 d x = 2 x + 1 3 0 = 2

Passo 2

E aí como os limites de integração são a curva e a reta x = 3 , e y = 1 x + 1   , ficamos com:

x - = 1 2 ∫ 0 3 x   d x x + 1

x - = 1 2 ∫ 0 3 x + 1 d x - 1 2 ∫ 0 3 d x x + 1

x - = 1 2 ∙ 2 3 x + 1 3 2 0 3 - 1 = 4 3

E a coordenada y :

y - = 1 2 ∙ 2 ∫ 0 3 d x x + 1

y - = 1 4 ln ⁡ x + 1 0 3 = 1 4 ln ⁡ 4

y - = 1 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2

Então, o centroide é ( 4 3 , ln ⁡ 2 )   .

Resposta

( 4 3 , ln ⁡ 2 )  

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