Determine o comprimento da curva dada.

r(t) = i + t^2 * j + t^3 * k 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala ai galerinha!

Tranquilo? Vamos começar mais uma questão?

O objetivo é calcular o comprimento da curva dada no enunciado e para isso precisamos iniciar pela derivada da curva e seu módulo para colocarmos na equação do comprimento da curva.

Agora é só resolver!

Passo 2

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

r t =   i + t 2 j + t 3 k  

As derivadas parciais são:

r ' t = d d t   i + t 2 j + t 3 k  

r ' t =   0 i + 2 t j + 3 t 2 k

r ' t = 2 t j + 3 t 2 k

Passo 3

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco e integrando de t = 0 a t = 1 , temos:

L = ∫ 0 1 0 2 + 2 t 2 + 3 t 2 2 d t

L = ∫ 0 1 4 t 2 + 9 t 4 d t

Podemos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:

L = ∫ 0 1 t 2 4 + 9 t 2 d t

L = ∫ 0 1 t 4 + 9 t 2 d t

Passo 4

Agora substituímos u = 4 + 9 t 2 na integral

L = ∫ 4 1 3 u d u

L = 1 18 2 3 u 3 2  

Substituindo os limites de integração

L = 1 27 13 3 - 4 3

L = 1 27 13 13 - 8

Resposta

L = 1 27 13 13 - 8

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