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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 25

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

25. x = e - t cos ⁡ t , y = e - t sen ⁡ t , z = e - t ; 1,0 , 1

Passo 1

Opaaa... belezinha?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas de uma determinada curva:

x = e - t cos ⁡ t

y = e - t sen ⁡ t

z = e - t

Queremos calcular as equações paramétricas para tangente dessa curva no ponto 1,0 , 1 .

Para isso, como estamos falando de tangente, então já bate na nossa cabeça uma palavrinha: DERIVADA!!

É isso aí!! Então a gente vai derivar cada equação paramétrica com relação a t e, em seguida, vamos substituir x ' ,   y ' e z ' pelo ponto dado para descobrirmos o ponto desejado.

Por fim, basta aplicar esses pontos na equação da reta 😉

Passo 2

Nessa questão vamos fazer agora as seguintes derivadas:

r t = e - t cos ⁡ t ' , e - t sen ⁡ t ' , e - t '

Derivando x pela regra do produto, temos:

x ' = - e - t cos ⁡ t + e - t - sen ⁡ t

x ' = - e - t cos ⁡ t - e - t sen ⁡ t

x ' = - e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Derivando y pela regra do produto também, temos:

y ' = - e - t sen ⁡ t + e - t cos ⁡ t

y ' = - e - t sen ⁡ t - cos ⁡ t

E, derivando z , temos:

z ' = - e - t

Agora, substituindo em r ' t , temos:

r ' t = - e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t , - e - t sen ⁡ t - cos ⁡ t , - e - t

Passo 3

Vamos igualar a curva dada no ponto 1,0 , 1 pra gente achar o t :

1 = e - t cos ⁡ t 0 = e - t sen ⁡ t 1 = e - t

Podemos pegar só a última equação:

1 = e - t

t = 0

(E pra não pesar a consciência pode substituir nas outras que vai dar certinho...)

Agora a gente substitui esse valor de t na derivada pra achar o vetor tangente:

r ' 0 = - e - 0 sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 , - e - 0 sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 , - e - 0

r ' 0 = - 1,1 , - 1

E tudo prontinho, né...

Passo 4

Vamos montar as equações paramétricas da reta tangente.

Esse vetor tangente vai ser o que vai estar na frente do t e os pontos dados lá no início vão ser os números sem o t .

Atribuindo o coeficiente da reta - 1 para calcular a equação da reta da componente x , temos:

x = 1 + - 1 t

x = 1 - t

Agora, fazendo a mesma coisa para y , com o coeficiente 0 , temos:

y = 0 + t

y = t

Por fim, para z , atribuindo o coeficiente - 1 , temos:

z = 1 + - 1 t

z = 1 - t

E acabamos... Partiu pra próxima??

Resposta

x = 1 - t

y = t

z = 1 - t

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