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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 19

Determine os comprimentos das curvas nos Exercícios 17-20.19. y = x 2 - ln ⁡ x / 8 ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula do comprimeto do arco:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então vamos derivar a função dada, para acharmos f ' x :

f ' x = 2 x - 1 8 x

Aplicando na integral, com limites de integração a = 1 e b = 2 :

L = ∫ 1 2 1 + 2 x - 1 8 x 2 d x

L = ∫ 1 2 1 + 4 x 2 - 1 2 + 1 64 x 2 d x

L = ∫ 1 2 4 x 2 + 1 2 + 1 64 x 2 d x

Perceba que o resultado é muito parecido com o da derivada ao quadrado, a única coisa que mudou foi o - 1 / 2 por 1 / 2 . Podemos reescrever a raiz como sendo:

L = ∫ 1 2 2 x + 1 8 x 2 d x

L = ∫ 1 2 2 x + 1 8 x d x

L = x 2 + ln ⁡ x 8 1 2

L = 2 2 + ln ⁡ 2 8 - 1 2 + ln ⁡ 1 8

L = 4 + ln ⁡ 2 8 - 1 + 0

L = 3 + ln ⁡ 2 8

Resposta

L = 3 + ln ⁡ 2 8

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - 2 14 1 x + 2 4d x
Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = x 4 / 3 que está entre os pontos ( 0 , 0 ) e ( 1,1 ) .
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 1
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. y = x e - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Ache o comprimento da curva. y = 1 + 6 x 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1