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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 25

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 3   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Devemos tentar calcular a integral e imprópria e assim ver se ela converge ou não.

Primeiro calculamos a integral

∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x

Em seguida, tomamos o limite t → ∞ .

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x

Veja só!

Passo 2

Como a derivada do logaritmo é 1 / x , vamos fazer a mudança de variável u = ln ⁡ x , de modo que d u = d x / x . Assim, mudando também os limites de integração:

∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = ∫ e t 1 ln ⁡ x 3 d x x = ∫ 1 ln ⁡ t 1 u 3 d u

∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = ∫ 1 ln ⁡ t u - 3   d u

∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = - 2 1 u 2 1 ln ⁡ t

∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = 2 1 - 1 ln ⁡ t 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, vamos fazer t → ∞ e ver se a integral converge:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x   ln ⁡ x 3   d x = lim t → ∞ ⁡ 2 1 - 1 ln ⁡ t 2

Sabemos que o logaritmo explode no infinito, de modo que essa integral vai convergir:

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 3   d x = lim t → ∞ ⁡ 2 1 - 1 ln ⁡ t 2 = 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 3   d x = 2

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Desenha a curva e visualmente estime o comprimento. Depois ache o seu comprimento exato. y = 2 3 x 2 - 1 3 2 ,1 ≤ x ≤ 3