Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 24
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.
Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral imprópria do tipo 1. Então, vamos reescrevê-la trocando o limite infinito por e em seguida fazer . Assim:
Vamos lá!
Passo 2
Queremos calcular a integral:
Para isso, vamos fazer . Assim, . Além disso, quando , temos , e quando , temos . Então, substituindo tudo na integral, teremos:
Ainda não tá muito legal de resolver, né? Então, agora vamos fazer , de modo que . Assim, vamos ter:
Então, integrando:
E aplicando os limites de integração, temos:
Passo 3
Agora vamos lembrar lá do passo , onde definimos a integral imprópria, e calcular o limite para , usando esse resultado que encontramos:
Assim, aplicando o limite, temos:
E simplificando, encontramos:
Desta forma, vemos que a integral é convergente.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉